Berapa Banyak Segitiga yang Anda Lihat

Tidak ada yang seperti itu masalah matematika yang menjengkelkan, ilusi optik yang membengkokkan pikiran, atau teka-teki logika berkelok-kelok untuk menghentikan semua produktivitas dalam Mekanika Populer kantor. Kami pada dasarnya adalah orang-orang yang ingin tahu, tetapi kami juga secara kolektif berbagi desakan keras kepala bahwa kami benar, sial, dan karenanya kami cenderung membuang pekerjaan di pinggir jalan setiap kali kami menemukan masalah dengan beberapa solusi yang tampaknya mungkin.

Penggoda otak segitiga ini bukan hal baru — ajakan untuk Popsugar untuk gali itu beberapa tahun yang lalu — tetapi berdasarkan keajaiban Internet yang teduh, tweet di bawah ini muncul kembali di feed saya hari ini dan memulai debat baru tentang seluruh staf kami Slack channel, tempat yang secara tradisional disediakan untuk ide-ide workshopping, tetapi kebanyakan digunakan untuk berteriak tentang hal-hal lain yang kadang-kadang kita ubah menjadi kandungan.

Karena saya seorang masokis, saya menggambar segitiga lagi dan meminta semua staf untuk segera menjatuhkan apa yang mereka lakukan dan berusaha untuk menyelesaikan pertanyaan sederhana: Berapa banyak segitiga yang dapat Anda temukan?

Saya akan membiarkan Anda berbicara sepenuhnya — percayalah, tidak ada yang ingin melihat itu — tetapi respons tim ada di mana-mana. Beberapa editor melihat empat segitiga. Yang lain melihat 12. Beberapa melihat 6, 16, 22. Bahkan lebih banyak melihat 18. Satu wiseguy menghitung segitiga dalam huruf A dalam pertanyaan itu sendiri, sementara yang lain tampaknya memiliki eksistensial krisis: “Tidak satu pun dari garis-garis ini yang benar-benar lurus, hanya kurva — sehingga Anda tidak dapat mendefinisikannya sebagai segitiga,” katanya kata. “Tidak ada segitiga di foto ini. Hidup tidak ada artinya. "

Kami kemudian mengajukan masalah kepada pengikut Instagram kami, yang balasannya juga menjalankan keseluruhan, dari 5 hingga 14 hingga 37. Meskipun kami mengakui kemungkinan besar untuk melakukan trolling di sini, jelas bahwa orang merespons masalah dengan berbagai cara.

Saya bisa mendengarkan kolega saya menjelaskan proses mereka yang dipertanyakan sepanjang hari, tetapi sebagai gantinya, saya menghubungi beberapa ahli geometri untuk melihat apakah kita bisa sampai pada jawaban konsensus. Ternyata hampir semua matematikawan yang saya hubungi menemukan solusi yang sama — tetapi tidak semua dari mereka mengetahuinya dengan cara yang sama.

Jika Anda belum ingin tahu jawabannya, berhentilah membaca dan cobalah untuk menyelesaikan masalah terlebih dahulu. Saya akan bertemu Anda kembali ke sini ketika Anda selesai.

Hei, itu cepat. Siap untuk jawabannya? Tidak seperti beberapa masalah matematika virus yang sengaja dibuat kabur dan terbuka untuk interpretasi, yang ini benar-benar memiliki solusi slam-dunk, tidak diragukan lagi tentang itu, dan itu 18. Mari kita dengar dari beberapa ahli geometri tentang alasannya.

"Saya akan mendekati ini sama seperti seseorang mendekati masalah matematika: menguranginya dan menemukan struktur," kata Sylvester Eriksson-Bique, Ph. D., seorang mahasiswa pascadoktoral dengan University of California Los Angeles matematika departemen.

Satu-satunya cara untuk membentuk segitiga pada gambar yang saya gambar, kata Erikkson-Bisque, adalah jika puncak simpul (sudut) adalah bagian dari segitiga. Basis segitiga kemudian harus menjadi salah satu dari tiga level di bawah ini. “Ada tiga level, dan pada masing-masing Anda dapat memilih basis di antara enam cara yang berbeda. Ini menghasilkan 18, atau 3 kali 6 segitiga. ”

Mari kita lihat segitiga master lagi.

“Lebih mudah untuk menggeneralisasi ke case di mana ada n garis melewati puncak puncak, dan hal garis horizontal, ”kata Francis Bonahon, Ph. D., seorang profesor matematika di University of Southern California.

Dalam kasus kami, n = 4, dan p = 3. Segitiga apa pun yang kita temukan dalam gambar harus memiliki satu puncak atas dan dua lainnya pada garis horizontal yang sama, jadi untuk setiap garis horizontal, jumlah segitiga dengan dua simpul pada garis itu sama dengan jumlah cara kita dapat memilih simpul-simpul ini, kata Bonahon — yaitu jumlah cara kita dapat memilih dua titik berbeda dari n, atau "n pilih 2. ”

Ingat matematika SMA? Itu n(n-1)/2. Dan karena ada hal garis horizontal, kata Bonahan, ini memberi p n(n-1) / 2 kemungkinan segitiga. Dalam kasus kami, 3x4 (4-1) / 2 = 18.

Inilah uraian praktis tentang cara menemukan setiap kemungkinan segitiga:

Johanna Mangahas, Ph. D., asisten profesor matematika di Universitas di Buffalo, juga datang ke 18 — pertama melalui penghitungan brute-force sederhana, kemudian melalui licik yang sama kombinatorik seperti di atas — tetapi mengakui asah otak segitiga kami tidak sekeren yang dari Po-Shen Loh, Ph. D., seorang profesor matematika di Carnegie Mellon University di Pittsburgh, sebagai ditampilkan dalam Waktu New Yorktahun lalu:

Yang satu ini memiliki jawaban matematika yang lebih licin, katanya, karena di sini, menghitung segitiga sama dengan menghitung kombinasi tiga garis yang dipilih dari enam [6-pilih-3 = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1)].

"Dalam hal ini, setiap pasangan garis berpotongan dan tidak ada persimpangan tiga atau lebih, jadi setiap pilihan tiga selalu memberikan segitiga," kata Mangahas. Dalam gambar yang saya kirimkan kepadanya, beberapa garis paralel, sehingga mereka tidak dapat menjadi bagian dari segitiga yang sama. "Jika Anda mengambil tujuh baris yang sama dan mengguncangnya sedikit, kemungkinan besar mereka akan melakukannya tanah seperti masalah [Loh] dan Anda akan memiliki lebih banyak segitiga dan jawaban imut yang serupa. "(Sebagai catatan: 35.)

Wah. Saya belum membagikan masalah segitiga baru ini dengan rekan kerja saya. Tetapi hanya masalah waktu sebelum mereka menemukannya — dan berdebat lagi.

🚨PEMBARUAN PENTING 1/30/20🚨: Sejak menerbitkan cerita ini, banyak, banyak pembaca telah berusaha memberi tahu saya bahwa meskipun 18 memang jawaban yang dapat diterima untuk masalah ini, itu bukan hanya satu, karena beberapa pengawasan yang tidak disengaja di pihak saya. Saya bisa membuat ini lebih mudah pada pembaca — dan, yang terpenting, jauh lebih mudah di kotak masuk saya — seandainya saya membuat sketsa segitiga di atas kertas komputer putih biasa. Tapi tidak.

Sayangnya saya menggambar segitiga ini di atas kertas bergaris, dan banyak orang pintar telah dengan benar menunjukkan bahwa, well, sebenarnya, jika Anda menghitung garis paralel biru muda pada gambar di samping garis biru gelap yang ditulis dalam marker, sebenarnya ada lebih dari 18 total segitiga di sini — jauh lebih banyak. Saya tidak pernah menetapkan untuk hanya menggunakan garis-garis biru tua itu, dan dengan demikian, saya salah. Kamu benar.

Seorang pembaca, Ralph Linsangan, benar-benar memiliki saya dengan mengirimkan gambar ini, di mana ia menandai setiap segitiga tambahan yang ditemukan di bawah teknisnya, menandai 17 segitiga tambahan dengan total 35. Melihat:

Dedikasi semacam itu hanyalah salah satu dari banyak alasan yang saya sukai Mekanika Populer pembaca. Kami tidak bisa mendapatkan apa pun melewati kalian. Sampai penggoda selanjutnya!

🚨NAMUN SEGITIGA SEGITIGA UPDATE 1/31 / 20🚨: Sejak memposting pembaruan terakhir, saya pernah mendengar dari even lebih dari kamu, terus menegur saya — dan rekan pembaca Anda — karena tidak mempertimbangkan kemungkinan segitiga tambahan. Mari kita dengarkan dari pembaca Derek Schneider, yang mengirim grafik lain menyarankan ada 45 segitiga.

Namun jika kita mengikuti aturan asli, saya menghitung dan menambahkan 9 yang pasti (berwarna hijau) dan satu yang bisa terbuka untuk interpretasi tergantung pada bagaimana Anda menempatkan puncak secara visual (dalam warna ungu)... Saya pribadi akan menghitung Itu.

Pembaca Poingly, sementara itu, menulis untuk mengatakan bahwa kami telah membuat "kesalahan besar" dalam menghitung segitiga selama ini:

Ambil sudut kanan bawah, misalnya, ini menunjukkan satu panah untuk satu segitiga. Namun, garis-garis biru muda ini dapat membentuk sebanyak TIGA segitiga di satu sudut ini saja:

Sementara beberapa ini MUNGKIN menjadi agak bisa diperdebatkan (yaitu, di mana PERSIS melakukan garis biru muda memotong yang gelap dan melakukan mereka secara teknis membentuk segitiga atau segi empat), saya telah menghitung SEVEN segitiga TAMBAHAN yang dapat dibuat dalam cara. Ini membawa jumlah total segitiga hingga 42.
Berita buruknya adalah kami melewatkan beberapa segitiga. Berita baiknya adalah ini menegaskan bahwa kehidupan jelas TIDAK memiliki makna, sebagaimana dibuktikan dengan angka pastinya: 42.

Poin luar biasa, Dengan senang hati. Pembaca James Goodrich melangkah lebih jauh, menyarankan kita membuka pikiran kita untuk mempertimbangkan apa itu segitiga:

Nah, menurut pembaca Anda, yang menunjukkan 17 segitiga tambahan (menggunakan "Andrew tidak tentukan garis apa yang dapat terdiri dari 3 tepi segitiga "klausa), gagal menemukan dengan jelas cukup banyak lebih. Ambil, misalnya, segitiga mini kiri-bawah dalam addendum "Pembaruan Penting" 30 Januari 2020. Tidakkah bidang-bidang dari segitiga mini dan luas belah ketupat yang bersebelahan dengannya, digabungkan, menghasilkan segitiga lain?

Gagasan lain untuk dipertimbangkan: Segitiga memiliki 3 sudut (siapa yang bisa menebak?); Namun, saya berpendapat bahwa bagaimana Anda menggambarkan sebuah segitiga, dengan cara mengatakan sudut, akan menghasilkan segitiga yang berbeda. Diberikan segitiga T, dengan simpul A, B, dan C, t-satu mungkin memang digambarkan oleh ABC, dengan B menjadi sudut tengah. Saya menyarankan bahwa t-two, dijelaskan oleh BAC, berbeda. Begitu pula untuk BCA.

Jika kemudian kita mengambil kasus tertentu, segitiga siku-siku, kita dapat memperoleh fungsi sinus, kosinus, dan garis singgung (SOH, CAH, TOA). Jika kita menerapkannya pada segitiga (dan mengendurkan persyaratan sudut kanan, itu mungkin berarti bahwa BAC berbeda dari CAB. Tentu saja, pengecualian dibuat untuk segitiga isosol dan segitiga sama sisi (yang terakhir hanya akan memiliki 3 definisi segitiga yang berbeda).

Saya belum cukup memikirkan bagaimana mengukur setiap saran (dan menerapkan yang terakhir setelah yang pertama akan meningkatkan jumlah masih), jadi saya tidak memiliki nomor yang mudah untuk Anda gunakan dalam pembaruan penting yang diperbarui (jika Anda menemukan ide-ide saya berharga untuk memperbarui).

Ya, James. Dan saya akan menunggu. Dengan penuh keragu-raguan, saya memutuskan untuk mengambil satu tikaman terakhir untuk mencari tahu berapa banyak segitiga tambahan yang dapat diberikan aturan kacau kita yang baru, dan tiba di 43, dengan total 61:

Namun, saya cukup yakin bahwa seseorang yang membaca ini akan dengan cepat memberi tahu saya bahwa saya salah lagi dan memberikan bukti dari segitiga yang bahkan lebih tersembunyi, mengirim saya ke lubang kelinci lain di jalan panjang dan berliku ke akhirnya penyakit jiwa. (Catatan: Saya belum melihat istri saya dalam tiga hari. Tolong katakan padanya aku mencintainya.) Jadi saya mengeluarkan satu tantangan terakhir: Jika Anda dapat menemukan segitiga yang paling mungkin dalam gambar aslinya, perlihatkan karya Anda, dan buktikan secara definitif supremasi Anda, saya akan memperbarui cerita ini untuk terakhir kalinya dan memahkotai Anda Raja Segitiga atau Ratu, sekarang dan selama-lamanya. Hasil positif.